By Waclaw Sierpinski, I. N. Sneddon, M. Stark

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Xr Elemente eines Hauptidealrings R und d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler der xi . Dann gibt es Elemente λ1 , . . , λr ∈ R mit d = λ1 x1 + . . + λr xr . In einem euklidischen Ring R kann man zur Bestimmung der Koeffizienten λi wieder einen einfachen Algorithmus, den sog. erweiterten euklidischen Algorithmus, konstruieren. Wir f¨ uhren dies f¨ ur den gr¨oßten gemeinsamen Teiler zweier Elemente x0 , x1 ∈ R durch. Es wird solange mit Rest geteilt, xi−1 = qi xi + xi+1 , i = 1, . . h. xn+1 = 0, aber xn = 0.

Fasst man zueinander assoziierte Primfaktoren zusammen, so erh¨alt man folgende Aussage: In einem Hauptidealring gibt es zu jedem Element x = 0 eine Einheit u, paarweise zueinander nicht assoziierte Primelemente p1 , p2 , . . , pm und nat¨ urliche Zahlen α1 , α2 , . . , αm , so dass αm 1 α2 x = u · pα 1 p2 · . . · pm . (Der Fall, dass x eine Einheit ist, ist darin eingeschlossen. ) αm 1 α2 Vereinbarung. Wenn wir im Folgenden sagen: “Sei x = upα 1 p2 · . . · pm die Primfaktor-Zerlegung des Elements x .

Xr ) = (v). Man kann die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen auf die des gr¨oßten gemeinsamen Teilers zur¨ uckf¨ uhren, wie folgender Satz zeigt. 13. Satz. Seien x, y von 0 verschiedene Elemente eines Hauptidealrings R und d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von x und y. Dann ist xy v := d kleinstes gemeinsames Vielfaches von x und y. Beweis. Es ist klar, dass v = x(y/d) = (x/d)y ein gemeinsames Vielfaches von x und y ist. h. § 4 Der Euklidische Algorithmus 31 w = tx = sy mit t, s ∈ R.

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by John
4.1

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