By Jürgen Neukirch

ISBN-10: 3540375473

ISBN-13: 9783540375470

Die algebraische Zahlentheorie ist eine der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. In dem vorliegenden Buch wird sie in einem ausf?hrlichen und weitgefa?ten Rahmen abgehandelt, der sowohl die Grundlagen als auch ihre H?hepunkte enth?lt. Die Darstellung f?hrt den Leser in konkreter Weise in das Gebiet ein, l??t sich dabei von modernen Erkenntnissen ?bergeordneter Natur leiten und ist in vielen Teilen neu. Der grundlegende erste Teil ist mit einigen neuen Aspekten versehen, wie etwa einer ausf?hrlichen Theorie der Ordnungen. ?ber die Grundlagen hinaus enth?lt das Buch eine geometrische Neubegr?ndung der Theorie der algebraischen Zahlk?rper durch die Entwicklung einer "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis zu einem "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" f?hrt, ferner lokale und globale Klassenk?rpertheorie und schlie?lich eine Darstellung der Theorie der Theta- und L-Reihen, die die klassischen Arbeiten von Hecke in eine fa?liche shape setzt.

Das Buch wendet sich an Studenten nach dem Vordiplom bzw. Bachelor. Dar?ber hinaus ist es dem Forscher als weiterweisendes Handbuch unentbehrlich.

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Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein

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3 An elementary result for prime numbers We finish this introduction with an elementary proof of a weaker version of the Prime Number Theorem. 4. We have 1 2 x log x π(x) 2 x for x log x 3. The proof is based on some simple lemmas. For an integer n = 0 and a prime number p, we denote by ordp (n) the largest integer k such that pk divides n. 5. Let n be an integer x. 1 and p a prime number. ) = j=1 n . pj Remark. This is a finite sum. Proof. We count the number of times that p divides n!. Each multiple of p that is n contributes a factor p.

Taking logarithms, we get π(2k + 1) log(k + 2) 2k log 2 + π(k + 1) log(k + 2), and applying the induction hypothesis to π(k + 1), using k + 2 > k + 1 > n/2, 2k log 2 2(k + 1) + log(k + 2) log(k + 1) (log 2 + 1)n + 1 n < <2 for n > 200. 1 Basics Given z0 ∈ C, r > 0 we define D(z0 , r) := {z ∈ C : |z − z0 | < r} (open disk), D(z0 , r) := {z ∈ C : |z − z0 | r} (closed disk). A subset U ⊆ C is called open if U = ∅ or if for every z0 ∈ C there is δ > 0 with D(z0 , δ) ⊂ U . A subset U ⊆ C is called closed if U c := C \ U is open.

X1 In case that x1 = M ,xr = N we are done. if x1 > M , then A(t) = 0 for M t < x1 x and thus, M1 A(t)g (t)dt = 0. If xr < N , then A(t) = A(xr ) for xr t N , hence N A(t)g (t)dt = A(N )g(N ) − A(xr )g(xr ). 1) this implies our Theorem. 2. Let f : Z>0 → C be an arithmetic function with the property that there exists a constant C > 0 such that | N C for every N 1. Then n=1 f (n)| ∞ −s Lf (s) = n=1 f (n)n converges for every s ∈ C with Re s > 0. More precisely, on {s ∈ C : Re s > 0} the function Lf is analytic, and for its k-th derivative we have ∞ (k) f (n)(− log n)k n−s .

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Algebraische Zahlentheorie by Jürgen Neukirch


by Daniel
4.3

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