By Otto Forster

ISBN-10: 3658065397

ISBN-13: 9783658065393

Das Buch gibt eine Einführung in die Zahlentheorie bis hin zu den quadratischen Zahlkörpern. Dabei wird durchgehend auch der algorithmische Aspekt betrachtet. So werden Existenzsätze (z.B. für die Darstellung von Primzahlen der shape p=4n+1 als Summe von zwei Quadratzahlen) stets durch Algorithmen zur Konstruktion ergänzt. Neben den klassischen Inhalten der elementaren Zahlentheorie werden in dem Buch u.a. auch die Multiplikation großer ganzer Zahlen mittels der schnellen Fourier-Transformation sowie Faktorisierung ganzer Zahlen mit elliptischen Kurven behandelt.

Für die Neuauflage wurden bekannt gewordene Fehler der ersten Auflage korrigiert und an mehreren Stellen Umarbeitungen vorgenommen. Außerdem gibt es neue Abschnitte über die Faktorisierung mit dem Quadratischen Sieb, den Diskreten Logarithmus (der in der Kryptographie eine große Rolle spielt) sowie über den deterministischen AKS-Primzahltest mit polynomialer Laufzeit. Damit der Leser die Algorithmen auf seinem computer oder notebook auch konkret testen kann, werden die Algorithmen in einem pascalähnlichen Code für den vom Autor entwickelten Multipräzisions-Interpreter ARIBAS beschrieben, der zum kostenlosen obtain zur Verfügung steht.

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Xr Elemente eines Hauptidealrings R und d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler der xi . Dann gibt es Elemente λ1 , . . , λr ∈ R mit d = λ1 x1 + . . + λr xr . In einem euklidischen Ring R kann man zur Bestimmung der Koeffizienten λi wieder einen einfachen Algorithmus, den sog. erweiterten euklidischen Algorithmus, konstruieren. Wir f¨ uhren dies f¨ ur den gr¨oßten gemeinsamen Teiler zweier Elemente x0 , x1 ∈ R durch. Es wird solange mit Rest geteilt, xi−1 = qi xi + xi+1 , i = 1, . . h. xn+1 = 0, aber xn = 0.

Fasst man zueinander assoziierte Primfaktoren zusammen, so erh¨alt man folgende Aussage: In einem Hauptidealring gibt es zu jedem Element x = 0 eine Einheit u, paarweise zueinander nicht assoziierte Primelemente p1 , p2 , . . , pm und nat¨ urliche Zahlen α1 , α2 , . . , αm , so dass αm 1 α2 x = u · pα 1 p2 · . . · pm . (Der Fall, dass x eine Einheit ist, ist darin eingeschlossen. ) αm 1 α2 Vereinbarung. Wenn wir im Folgenden sagen: “Sei x = upα 1 p2 · . . · pm die Primfaktor-Zerlegung des Elements x .

Xr ) = (v). Man kann die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen auf die des gr¨oßten gemeinsamen Teilers zur¨ uckf¨ uhren, wie folgender Satz zeigt. 13. Satz. Seien x, y von 0 verschiedene Elemente eines Hauptidealrings R und d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von x und y. Dann ist xy v := d kleinstes gemeinsames Vielfaches von x und y. Beweis. Es ist klar, dass v = x(y/d) = (x/d)y ein gemeinsames Vielfaches von x und y ist. h. § 4 Der Euklidische Algorithmus 31 w = tx = sy mit t, s ∈ R.

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Algorithmische Zahlentheorie by Otto Forster


by Edward
4.3

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