By Rainer Schulze-Pillot

ISBN-10: 3642552153

ISBN-13: 9783642552151

ISBN-10: 3642552161

ISBN-13: 9783642552168

Das Buch bietet eine neue Stoffzusammenstellung, die elementare Themen aus der Algebra und der Zahlentheorie verknüpft und für die Verwendung in Bachelorstudiengängen und modularisierten Lehramtsstudiengängen konzipiert ist. Es führt die abstrakten Konzepte der Algebra in stetem Kontakt mit konkreten Problemen der elementaren Zahlentheorie und mit Blick auf Anwendungen ein und bietet Ausblicke auf fortgeschrittene Themen. In beiden Gebieten wird ein Stand erreicht, der für Nichtspezialisten das nötige Handwerkszeug für die meisten Anwendungen (etwa in diskreter Mathematik, Kryptographie oder Signalverarbeitung) vermittelt, aber auch zu einer vertieften Beschäftigung mit Algebra und Zahlentheorie anregt und für diese eine gute Ausgangsbasis bildet.

Für die dritte Auflage wurden neben einer allgemeinen Überarbeitung und Fehlerkorrektur zahlreiche Beispiele und Aufgaben neu hinzugefügt. Ferner wird in einem neuen ergänzenden Abschnitt der Beweis der Sätze der linearen Algebra über Normalformen von Matrizen mit Hilfe des Elementarteilersatzes behandelt, da dieser schöne Beweis in Lehrbüchern der Linearen Algebra selten Platz findet.

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N ist genau dann Primzahl, wenn n durch √ keine Primzahl p ≤ ⌊ n⌋ teilbar ist. Beweis Klar. 19 (Sieb des Eratosthenes) Sei N ∈ N, N > . Der folgende Algorithmus liefert eine Liste aller Primzahlen p ≤ N: 1. L sei eine Liste der Länge N, initialisiere sie durch L[ j] =  für j > , L[] = . 2. q ← , 4 J. Brüdern: Analytische Zahlentheorie, Springer-Verlag 1998. 5 Sieb des Eratosthenes 43 3. l = ⌊ Nq ⌋, für  ≤ j ≤ l setze L[q j] =  (markiere alle Vielfachen von q als Nichtprimzahlen). √ 4. Solange q +√  ≤ ⌊ N⌋ und L[q + ] =  gilt, setze q ← q + .

M ∈ N ist genau dann kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn gilt: a ∣ m, b ∣ m, m ≤ ∣m′∣ für alle m′ mit a ∣ m′ , b ∣ m′ . 4). ◻ Beispiel In Z haben  und  den größten gemeinsamen Teiler  (oder −) und das kleinste gemeinsame Vielfache  (oder −). Die drei Zahlen , ,  haben den größten gemeinsamen Teiler  und das kleinste gemeinsame Vielfache . Allgemein kann man in Z den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen a, b (oder auch von n Zahlen a  , .

B.  und  +  in diesem Ring    zueinander assoziiert. d) Ist K ein Körper, so ist der Polynomring K[X] in einer Variablen X über K ein Integritätsbereich. Wie im einleitenden Kap. 0 festgestellt ist allgemeiner der Polynomring R[X] in einer Variablen X über einem Integritätsbereich R ebenfalls ein Integritätsbereich, in dem die Einheiten genau die konstanten Polynome ε mit einer Einheit ε ∈ R × sind. Im Ring Q[X] der Polynome mit rationalen Koeffizienten sind also +X und +X assoziiert, im Ring Z[X] der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten sind diese beiden Polynome nicht zueinander assoziiert.

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Einführung in Algebra und Zahlentheorie by Rainer Schulze-Pillot


by William
4.4

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