By Alexander Schmidt

ISBN-10: 3540459731

ISBN-13: 9783540459736

ISBN-10: 354045974X

ISBN-13: 9783540459743

Das vorliegende Buch gibt eine Einführung in die Grundgedanken der modernen Algebraischen Zahlentheorie, einer der traditionsreichsten und gleichzeitig heute besonders aktuellen Grunddisziplinen der Mathematik. Ausgehend von Themenbereichen, die üblicherweise der elementaren Zahlentheorie zugeordnet werden, führt es anhand konkreter Problemstellungen zu den Techniken, die das Herz der modernen Theorie ausmachen. Hierbei wird besonderer Wert auf Lokal-Global-Prinzipien für diophantische Gleichungen gelegt. Die Dedekindsche Theorie der Ideale wird für den Fall quadratischer Zahlkörper vollständig entwickelt. Es werden die p-adischen Zahlen eingeführt und der berühmte Satz von Hasse-Minkowski über motive quadratische Formen bewiesen. Der technische Apparat wird behutsam und nur so weit entwickelt, wie es für die konkreten Fragestellungen nötig ist. Daher können weite Teile des Buches ohne Vorwissen gelesen werden. Umfangreiches Übungsmaterial rundet die Darstellung ab.

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Ansonsten ist r mod p eine prime Restklasse und wir finden zu x = 1 ein passendes y. Daher k¨onnen wir ohne Einschr¨ ankung annehmen, dass e, f < p gilt. Wir betrachten die Differenzen yr − x, x = 1, . . , e, y = 1, . . , f. Mindestens zwei dieser ef > p Zahlen sind kongruent modulo p. Sei also y1 r − x1 ≡ y2 r − x2 mod p mit x1 = x2 oder y1 = y2 . W¨are y1 − y2 ≡ 0 30 Kapitel 2. Das Quadratische Reziprozit¨ atsgesetz mod p, dann w¨ are auch x1 − x2 = r(y1 − y2 ) ≡ 0 mod p und wegen e, f < p erhielten wir x1 = x2 , y1 = y2 .

I Wegen N ≡ 1 mod 4 ist eine gerade Anzahl der i kongruent 1 modulo 4, weshalb der erste Faktor gleich 1 ist. Wegen N ≡ 1 mod 8 ist eine gerade ur Anzahl der i kongruent ±3 modulo 8. Also ist der zweite Faktor gleich 1. F¨ festes qj gilt qj i = . 4 Quadratsummen I 29 Entsprechend unserer Wahl von N erhalten wir die Gleichung a N i = = = −1. q qj i j i i,j j Daher muss a i = −1 f¨ ur mindestens ein i gelten. Widerspruch. Aufgabe 1. Man zeige, dass es unendlich viele Primzahlen kongruent 5 modulo 6 gibt.

Daher hat N nur Primteiler kongruent 1, 3 mod 8. Das widerspricht N ≡ −3 mod 8. Daher gibt = −1. es unendlich viele Primzahlen p mit −2 p Da sich das Legendre-Symbol nicht ¨ andert, wenn wir a um ein Quadrat ab¨andern, k¨ onnen wir nun annehmen, dass a = (−1) 2e q1 · · · qn mit paarweise verschiedenen ungeraden Primzahlen qi und n ≥ 1, e, ∈ {0, 1} gilt. Wir nehmen nun an, dass p1 , . . , pm alle Primzahlen mit ap = −1 sind. Dann gilt insbesondere pi = qj f¨ ur beliebige i, j. Sei α ein quadratischer Nichtrest modulo qn .

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Einführung in die algebraische Zahlentheorie by Alexander Schmidt


by Edward
4.0

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