By Prof. Dr. Peter Bundschuh (auth.)

ISBN-10: 3540646302

ISBN-13: 9783540646303

ISBN-10: 3662069067

ISBN-13: 9783662069066

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Beweis. Zu (vi): Aus dlnl,"" dink folgt edlenl,"" edlenk, also edle, wenn man e := (enl,"" enk) schreibt und Satz 3B ausnutzt. Somit ist insbesondere I ganz. Die Definition von e impliziert elenl, ... ,elenk, was mit I Inl' ... , I Ink aquivalent ist. Erneut Satz 3B ergibt dann lid, also das fUr (vi) noch benotigte eled. Ubrigens kann diese Regel genauso bequem mittels Satz 3A verifiziert werden. Zu (vii): Die Zahlen ~ sind fUr i = 1, ... ,k nach Voraussetzung ganz und nicht aIle Null; f sei ihr ggT.

10 kurz diskutierten H-Primzahlen haben die Eigensehaft (ii) des obigen Satzes nieht: Zwar wird das Produkt der beiden H-Zahlen 4 und 25 von der H-Primzahl1O geteilt, jedoeh keine der beiden H-Zahlen selbst. 8. Nochmals: Eindeutigkeit im Fundamentalsatz. 5 gefiihrten Eindeutigkeitsbeweis naeh ZERMELO sei n > 1 die kleinste natiirliche Zahl mit nieht eindeutiger Produktzerlegung in Primzahlen. Mit gewissen Primzahlen PP' qa hat man also (1) n = PI ..... Pr und n = ql ..... qs· Nun ist Prin und so mit Priql .....

OQ (3) ((s) := s fUrRes>l n=1 und hat nach (2) flir dieselben sEC die Produktformel (4) ((s) = II(l- p-S)-I. p Dabei ist lediglich I:v>o p-vs fUr jede Primzahl pals geometrische Reihe aufsummiert worden. Die hier eingeflihrte, in der Halbebene Re s > 1 holomorphe und (wegen (4)) nullstellenfreie Funktion ( heiBt RIEMANNsche Zetafunktion. Sie spielt beim Studium der Primzahlverteilung eine liberragende Rolle (vgl. 1); daB sie mit den Primzahlen engstens zu tun hat, ist aus ihrer Produktdarstellung (4) evident.

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Einführung in die Zahlentheorie by Prof. Dr. Peter Bundschuh (auth.)


by Brian
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