By Joe Roberts

ISBN-10: 0262680289

ISBN-13: 9780262680288

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C C (oder l~ngs einer l~ngs die S i n g u l a r i t ~ t e n eine U n g l e i c h u n g . -i u = O, • ~2, ... von der G e s t a l t l~(u) 1 4 Ae-~Re(T) r2+Blrl gilt, wobei Koeffizient die r e e l l e Zahl r mit u ins U n e n d l i c h e strebt; der 2 von r ist positiv, d e n n wir h a b e n Re(T) > 0 an- genommen. Wir und setz~n u = c+re T = Re(T)+iIm(T). ~i 4 , wobei Zun~chst c sch~tzen und r reelle Zahlen wir den Z ~ h l e r von ~ sind, ab, i n d e m w i r die U n g l e i c h u n g Ie ~i TU 2+2 ~iXu I e 2 - ~ r Re(T)+~I TI (C2+21crl)+2~IXl (Icl+Irl) beweisen.

C ( h l / k I) u n d ist ist, (5), a u c h ist g e z e i g t , zweier Ford-Kreise welcher gegeben Die vertikale Kreisbogendreiecke C(h/k), h/k, Da 9 zu b e w e i s e n , rationale die Kreise Bruches folglich, Ber~hrungspunkt viele Die Konfiguration eines m~glich. 12 bezOglich durch I x = ~ ; der Linie I-~ und wegen ersetzen, und d~rfen annehemen, O < K < k < kI h k < ~ H < K ' h (4) , deshalb hl dass wir, wenn (wie in F i g u r n6tig, 2) , (7) H T h/k hl/kl (Fiqur Es seien C(H/K) A, bestimmten Wir wissen aus Zun~chst zeigen rechts 4) die Ed~punkte Dreiecks (3), (Figur wir, , dass b = C(h/k) , C ( h l / k I) u n d durch 4), und gilt hk + hlk I k2 + k2 i unter von den beiden Tats~chlich des a, b, c ihre Abszissen.

Wit auch 1 + 2 [e Q g (m, n) ungeraden m schreiben k 2 (modulo 9 m schreiben, und n. ,n-1, zweimal Primzahl, aus k 2 ~ dass (n+l) Ist aber Wir n-1 ~ik 2 m [ e n k=l = 1 + n e folgt. ~ik 2 m ganze Zahl. sich ~ik 2 -m- Q k 2 =_ wobei Primzahl Q die M e n g e n ~IQ~ (n+l) der q u a d r a t i s c h e n durchl~uft. (14) Reste der V,lO Jetzt betrachten wir die Summe ~iv m [e n (n+l) V wobei v alle quadratischen Nichtreste (mod n) durchlMuft; es gilt offenbar 1+ [e Q ~iQ-~ (n+l) + [e v ~iv m (n+l) n~l = ~ik TM (n+l) n k=O ~ik~ Aber e (n+l) (n+l) ist gerade und folglich ist e die k-te Potenz einer gewissen n-ten Einheitswurzel ~.

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Elementary Number Theory: A Problem Oriented Approach by Joe Roberts


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