By Kenneth H. Rosen

ISBN-10: 0321237072

ISBN-13: 9780321237071

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H. H11 ••• , Ht sind auch das vollständige System aller mod. • qm erklärbaren Idealgruppen vom Index l. Durch Anwendung der analytischen Relation (7) zeigt man ferner: (d) q1 , ••• , qm können der Bedingung (b) gemäß auf unendlich viele Arten gewählt werden. ; gelingt dann auf Grund von (c) tatsächlich der Nachweis, daß unter den x; = k(Vp,~) genau t voneinander (und vou k) verschiedene vorhanden sind. Wegen (c) beeinflußt nun das Hinzukommen der q11 • . , qm den obigen Existenzbeweis gar nicht, d.

Speziell gibt es also z. B. für jedes zu m prime " aus k unendlich viele "Primzahlen" n: (d. h. Hauptprimideale (n)), so daß n = a mod. m; n von vorgeschriebener Signatur ist. 2. Der Hauptpunkt beim Beweis des Satzes 13 ist natürlich das Nichtverschwinden der L (1, x); (x Xo)· Bekanntlich hat Dirichlet in dem von ihm behandelten Falle des rationalen Grundkörpers k diesen Nachweis dadurch erbracht, daß er geeignete quadratische Körper angab, deren Klassenzahlen sich als Produkte der fraglichen L (1, x) mit von Null verschiedenen Faktoren darstellen ließen.

P l schreiben. Dabei dürfen die a1 als ganze rationale Zahlen gewählt werden, weil p vom 1. Grade ist und weil die Diskriminante von Z nur Primteiler von m enthält, also prim zu p ist. ). Wenn daher f der kleinste positive Exponent ist, für den N(pl) = pf 1 mod. m ist, d. h. ~~ in Hm liegt, so ergibt sich wegen = 1: = Apf = A mod. ~ für jedes ganze A aus Km. zm Ist also ~ ein Primteiler von p in Km vom Grade (, so genügen alle N (~) = N(p'') = pf' Restklassen mod. 1 _ = 0 d ~ ar Xmo. 't'' woraus f < f folgt, da diese Kongruenz höchstens pf mod.

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by Daniel
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