By Hans Sachs

ISBN-10: 3322837858

ISBN-13: 9783322837851

ISBN-10: 3528063327

ISBN-13: 9783528063320

Der allgemeine Begriff der m-dimensionalen isotropen Mannigfaltigkeit Vm eines kom plexen euklidischen Rn wurde von J. LENSE gepragt und fiihrte zu einer Reihe aufier ordentlich interessanter Untersuchungen (vgl. [92J - [104]). Spater hat M. PINL (vgl. [138J - [160]) diese Thematik unter Aspekten der Riemannschen Geometrie konsequent weiterentwickelt. 1st x = x( Ul, U2, . ., u ) eine m-dimensionale Riemannsche Mannig m faltigkeit Vm, die in einem komplexen eukHdischen Rn(Xl;.. ., xn) eingebettet ist und bezeichnet 8x (0. 1) 8u{3 ihren Mafitensor, so heifit Vm isotrop vom Rang r, wenn Rang (gcx{3) = r m gerne Vm als (m-r)-fach isotrop bezeich web. Speziell fiir r = zero, d. h. g"'{3 == zero liegen sogenannnte vollisotrope Mannigfaltigkeiten vor, denn fiir das allgemeine Bogenelementquadrat (0. 2) 2 gilt hier ds == o. Diese vollisotropen Mannigfaltigkeiten wurden nicht nur von J. LENSE und M. PINL sondern auch von E. BOMPIANI (vgl. [13J - [17]) studiert. Allgemeine Einbettungsprobleme isotroper Mannigfaltigkeiten in regulare Riemannsche Raume hat vor allem W. O. VOGEL behandelt (vgl. [250J - [254]). Eine zusammen fassende Darstellung iiber den bisher angesprochenen Themenkomplex wird unabhangig von diesem Buch in shape einer Monographie von W. O. VOGEL publiziert werden.

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0. 8o,O,"Yo} und man kann durch eine isotrope Bewegung stets "Yo = erreichen. 19) {iii = 1£ +:1:, fj = y, z = z}. Es handelt sich um Schiebungen in nichtisotroper Richtung. 80 = 0, ("Y1,"Y2) =f. (0,0). A. sei "Y1 =f. 0. Die Bahnkurve jedes Punktes P(:I: = :1:0, Y = Yo, z = zo) ist eine voUisotrope Gerade. Die Ebene E : "Yo - "Y2:1: + "Y1Y = bleibt punktweise fest, 1st also eine Punktfixebene. Da E isotrop ist, kann man nach Anwendung einer euklidischen Drehung urn die z-Achse und einer Schiebung in y-Richtung E als Koordinatenebene Y = wahlen, d.

3: Jeder paraboli3che Zylinder, deuen Fernerzeugende den ab301uten Punkt F de3 einfach istropen Raume3 enthiilt, 30wie jede3 ellipti3che oder hyperboli3che Paraboloid mit volli30troper Durchmeuerrichtung und jede Sphiire paraboli3chen Typ3 liifJt Ilich durch paraboli3che Grenzdrehung eines i30tropen K reises erzeugen. Eine allgemeine Klassifikation der Fliichen 2. Ordnung des I~l) beziiglich der Gruppe B~l) wurde erstmals in [2561 gegeben, doch ist sich nicht vollstiindig. Beziiglich einer eingehenden Untersuchung vergleiche [1811.

Da es sich bei diesen Abbildungen um Scherungen mit vollisotropen Affinitatsgeraden handelt, nennen wir diese Untergruppe die Gruppe der vollisotropen Scherungen. 22) =f. 0. {iii =:1:, fj=y, z=1£+z}, d. h. es ergibt sich die einparametrige Gruppe der Schiebungen in vollisotroper Richtung. 80 = "Y1 = "Y2 = "Yo = 0. Man erhaIt die identische Abbildung. 2: Die Bewegungsgruppe B~l) des einfach isotropen Raumes enthiilt abgesehen von der Identitiit genau 7 Typen einparametriger Untergruppen, niimlich die isotropen Schraubungen, die isotropen Drehungen, die allgemeinen Grenzdrehungen, die windschiefen Schiebungen, die Schiebungen in nichtisotroper Richtung, die vollisotropen Scherungen und die Schiebungen in vollisotroper Richtung.

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Isotrope Geometrie des Raumes by Hans Sachs


by Anthony
4.3

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